a) Ta có: ΔDBC vuông tại D(BD⊥AC tại D)

mà DO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(O là trung điểm của BC)

nên \(DO=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

a) Ta có: \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{HC}\)

b) Ta có: \(\left(\dfrac{CA}{AB}\right)^4=\left(\dfrac{CA^2}{AB^2}\right)^2=\left(\dfrac{CH.BC}{BH.BC}\right)^2=\dfrac{CH^2}{BH^2}=\dfrac{CE.CA}{BD.BA}\)

\(=\dfrac{CE}{BD}.\dfrac{CA}{BA}\Rightarrow\left(\dfrac{CA}{AB}\right)^3=\dfrac{CE}{BD}\)

c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)

\(=BD.BA.CE.CA=BD.CE\left(AB.AC\right)=BD.CE.AH.BC\)

\(\Rightarrow BD.CE.BC=AH^3\)

d) Vì \(\angle HDA=\angle HEA=\angle DAE=90\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AH=DE\Rightarrow AH^2=DE^2=DH^2+HE^2\)

Ta có: \(3AH^2+BD^2+CE^2=2AH^2+\left(DH^2+BD\right)^2+\left(HE^2+CE^2\right)\)

\(=2.HB.HC+BH^2+CH^2=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

2:

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

b: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

góc ADK=góc EDC

=>ΔDAK=ΔDEC
=>DK=DC

=>ΔDKC cân tại D

Ta thấy b = c.

Thêm đk của đề bài là \(\widehat{A}\leq 90^o\), vì nếu ngược lại thì \(a^2>2b^2\) và khi đó điều cần cm sẽ sai.

Do tam giác ABC cân tại A nên DE // BC.

Theo định lý Thales ta có: \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\Leftrightarrow\dfrac{DE}{a}=\dfrac{AE}{b}\Leftrightarrow DE=\dfrac{a.AE}{b}\).

Ta lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE^2-BE^2=AC^2-BC^2=b^2-a^2\\AE+BE=AB=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE-BE=\dfrac{b^2-a^2}{b}\\AE+BE=b\end{matrix}\right.\Rightarrow AE=\left(\dfrac{b^2-a^2}{b}+b\right):2=\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\).

Do đó \(DE=\dfrac{a\left(2b^2-a^2\right)}{2b^2}\).

a: Xét ΔAMB có 

MD là đường phân giác ứng với cạnh AB

nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)

b: Xét ΔAMB có 

MD là đường phân giác ứng với cạnh AB

nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MB}\left(1\right)\)

Xét ΔAMC có 

ME là đường phân giác ứng với cạnh AC

nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{MC}\left(2\right)\)

Ta có: M là trung điểm của BC

nên MB=MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

c: Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

nên DE//BC

a) tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go:

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

tam giác AHB vuông tại H có đường cao HD nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AD.AB=AH^2\)

tam giác AHC vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=AE.AC\Rightarrow AE.AC=AD.AB\Rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\)

b) Vì \(\angle ADH=\angle AEH=\angle DAE=90\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow DE=AH\)

Ta có: \(BC.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB.AC}{BC}=AH\)

\(\Rightarrow DE=BC.sinB.cosB\)